如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．

(1)当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；

(2)当DE＝8时，求线段EF的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，点B在x正半轴上，且∠ABO＝30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．点M、N在x轴上，且△PMN是等边三角形．

(1)求点B的坐标；

(2)求等边△PMN的边长(用的代数式表示)，并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时的值；

(3)如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时，S与的函数关系式，并求出S的最大值．

如图①，在平面直角坐标系中，点P(0，m²)(m＞0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C₁：于点A、B，交抛物线C₂：于点C、D原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD

猜想与证明填表：

由上表猜想：对任意m(m＞0)均有＝________．请证明你的猜想．

探究与应用(1)利用上面的结论，可得⊿AOB与⊿CQD面积比为________；

(2)当⊿AOB和⊿CQD中有一个是等腰直角三角形时，求⊿CQD与⊿AOB面积之差；

联想与拓展如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C₂于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C₁于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则⊿MAE与⊿MDF面积的比值为________．

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

(1)若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为________；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为________；

(2)若折叠后点B落在边OA上的点为，设O＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

(3)若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点的坐标；

(4)若折叠后点B落在边OA上的点为，且使D⊥OA，求此时点C的坐标．