已知函数对任意实数x、y都有=·，且，，当时，0≤＜1．

（1）求及的值；

（2）判断的奇偶性；

（3）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明；

（4）若且≤，求的取值范围．

已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+

1

2

sinθ•x2-2x在 区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

已知函数f（x）=ax²+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设f′（x）、h′（x）分别是f（x）、h（x）的导函数，若方程h′（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解，
①令函数m_n（x）=[f′（x）]ⁿ-f（xⁿ+

1

xn

），其中n∈N^*且n≥2.2函数y=m_n（x）在区间（0，+∞）上的最小值；
②求证：对任意的正实数x，都有

n

i=2

1

mi(x)

＜

5

6

．