设函数f（x）=x²+1，g（x）=x，数列{a_n}满足条件：对于n∈N^*，a_n＞0，且a₁=1并有关系式：f（a_n+1）-f（a_n）=g（a_n+1），又设数列{b_n}满足b_n=

log

a an+1

（a＞0且a≠1，n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）试问数列{

1

bn

}是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若a=2，记c_n=

1

(an+1)-bn

，n∈N^*，设数列{c_n}的前n项和为T_n，数列{

1

bn

}的前n项和为R_n，若对任意的n∈N*，不等式λnT_n+

2Rn

an+1

＜2(λn+

3

an+1

)恒成立，试求实数λ的取值范围．

设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f( -an 2an+1 )

（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：y=f（x）是R上的减函数；          
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若不等式

k

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

-

1

2n+1

≤0对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

设函数y=f（x），（x∈R^*）对于任意实数x₁、x₂∈R^*，都满足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1
（1）求证：f（1）=0
（2）求f(

1

16

)的值
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x+2π）=f（x），求证：存在4个函数f_i（x）（i=1，2，3，4）满足：
（1）对i=1，2，3，4，f_i（x）是偶函数，且对任意的实数x，有f_i（x+π）=f_i（x）；
（2）对任意的实数x，有f（x）=f₁（x）+f₂（x）cosx+f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．