（1）若任意直线l过点F（0，1），且与函数f（x）=

1

4

x2的图象C交于两个不同的点A，B，分别过点A，B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求实数a的取值范围；
（3）求证：

ln24

24

+

ln34

34

+

ln44

44

+…

lnn4

n4

＜

2

e

，（其中e为无理数，约为2.71828）．

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．

若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{a_n}的通项公式为an=1+21-n，证明：a₁a₂a₃…a_n＜2e．

设函数f（x）=2x²，g（x）=alnx（a∈R）
（1）设a=4e，证明：f（x）≥g（x）；
（2）令h（x）=

1

2

xf（x）-3x²g′（x），若h（x）在（-2，2）内的值域为闭区间，求实数a的取值范围；
（3）求证：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（n≥2，n∈N^*）．

已知函数f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都满足x1＜

1

k

＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．