已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c．数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：a_n+1=

an+c an＜3 an d an≥3

（1）当a₁=1，c=1，d=3时，求数列{a_n}的通项公式
（2）当0＜a₁＜1，c=1，d=3时，试用a₁表示数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀
（3）当0＜a₁＜

1

m

（m是正整数），c=

1

m

，d≥3m时，求证：数列a₂-

1

m

，a_3m+2-

1

m

，a_6m+2-

1

m

，a_9m+2-

1

m

成等比数列当且仅当d=3m．

已知双曲线a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一个焦点(0，

cn

)，一条渐近线方程为y=

2

x，其中a_n是以4为首项的正项数列，数列c_n的首项为6．
（Ⅰ）求数列C_n的通项公式；
（Ⅱ）若不等式

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

+loga(2x+1)(a＞0且a≠1)对一切自然数n恒成立，求实数x的取值范围．

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．记数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+

1

2

＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．