定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
（1）1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)；     
（2）设bn=

1

n

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)恒成立，求n所有可能的值．

定理：若函数在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且，则存在唯一一个。已知

   （1）若是减函数，求a的取值范围。

   （2）是否存在同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由。

定理：已知O，A，B三点不共线，若点P在直线AB上，且则λ₁+λ₂=1，类比该定理进行研究，可以得出：已知O、A、B三点不共线，若点P、O在直线AB同侧（点P不在直线AB上），且，则    ．