已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥

3

-1，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8．

已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是 ．
①2a-3b+1＞0；
②a≠0时，

b

a

有最小值，无最大值；
③?M∈R⁺，使

a2+b2

＞M恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则

b

a-1

的取值范围为（-∞，-

1

3

）∪（

2

3

，+∞）．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且其焦点F（c，0）（c＞0）到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆的右顶点，则直线AM，BM与准线l分别交于P，Q两点（P，Q两点不重合），求证：

FP

•

FQ

=0．．

已知直线l₁：x-2y+3=0，那么直线l₁的方向向量

a1

为；l₂过点（1，1），并且l₂的方向向量

a2

与方向向量

a1

满足

a1

•

a2

=0，则l₂的方程为．

已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．