数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，事实上，有很多代数问题，可以化归为几何问题来解决．如与

(x-a)2+(y-b)2

相关的代数问题可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|

x2+8x+20

+

x2-2x+2

|=

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的解为．

已知等差数列中，公差为其前n项和，且满足：。

（1）求数列的通项公式；

（2）通过构造一个新的数列，使也是等差数列，求非零常数c;

( 3 )求的最大值。

 

已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，

 （1）求数列的通项公式；

 （2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列；

 （3）求的最大值。

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

已知函数的定义域为且，对任意都有

数列满足N.证明函数是奇函数;求数列的通项公式;令N, 证明:当时,.

(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,  考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)