如图所示，设S为平面上以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(三角形内部及边界)，试求当点(x，y)在区域S上变动时t＝4x－3y的最大值和最小值．

已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，若以F₂为圆心，b－c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)．

(1)证明：椭圆上的点到F₂的最短距离为a－c；

(2)求椭圆的离心率e的取值范围；

(3)设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(－c，0)，F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足||＝2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足·＝0，||≠0．

(1)设x为点P的横坐标，证明||＝a＋x；

(2)求点T的轨迹C的方程；

(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S＝b²？若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁(－c，0)，F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足||＝2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足·＝0，||≠0．

(1)设x为点P的横坐标，证明||＝a＋x；

(2)求点T的轨迹C的方程；

(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S＝b²？若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．