定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在实数集R上，函数g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数在实数集R上，函数在上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为，要使在上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

设定义在R上的函数f(x)=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄,a₀,a₁,a₂,a₃,a₄∈R,当x=-1时，f(x)取得极大值，且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.

(1)求f(x)的表达式;

(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在［,］上?如果存在,求出这两点的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)设x_n=,y_m=(m,n∈N^*),求证:|f(x_n)-f(y_m)|＜.

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设，求证：．