已知数列{a_n}满足a1=

5

2

，an+1=

1

2

an+

2

an

．求证：2＜a_n＜3．

设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n-

1

4

）•

t

n+1

+n成等差数列，记数列{C_n•（

1

2

）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n=

1

n(n+1)

T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

5

2

．

设f（x）=x²+mx+n，f（-1）=-1．
（Ⅰ）求证：方程f（x）=0有两个不相等的实根；
（Ⅱ）若f（0）•f（1）＜0，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，求证：2＜|x1-x2|＜

5

2

．

用数学归纳法证明3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1应变形为__________________.