在数列{a_n}中，其前n项和S_n与a_n满足关系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），已知数列{b_n}，b1=1，bn+1=3f(

1

bn

)  (n=1，2，3，…)，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n(Sn-

1

2

)．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

2n

Sn

，求{b_n}的前n项和T_n．