6．等差数列中，，则此数列前20项和等于

A．160　　　　　　　　　 B．180　　　　　　　　　　 C．200　　　　　　　　　　 D．220

5．为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　　 )

A．向左平移3个单位长度　　　　　　　　　　 B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度　　　　　　　　　　　 D．向右平移1个单位长度

4． 函数在处的导数等于( 　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　　 D．4

3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为(　 )

A．　　　　　　　　　 B． 　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

2．函数的反函数为(　　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

1．设集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩(C_U N)=(　　 )

A．{5}　　　　　　　　　 B．{0，3}　　　　　　　 C．{0，2，3，5}　　 D． {0，1，3，4，5}

10．(北师大版第52页例3)应用

变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)，

则B点的坐标为，A点的坐标为．

设矩形ABCD的周长为P，

则P=2(0<x<a)．

① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；

②若0 <a≤2，此时函数P=无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．

综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 <a≤2时，周长最大的内接矩形不存在．

变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

　　　 　　　　 f (x) = kx，g(x) = m，

由　 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，

∴　 f (x) = x(x≥0)，g(x) = ．

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，

∴　 企业的利润 y = (10－x) + = [－(－) ² + ](0≤x≤10)，

∴　 = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．

答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元．

变式3： 解：设，要使有意义，必须且，即，

∵，且……①　　

∴的取值范围是．

由①得：，

不妨设，．

(I)由题意知即为函数，的最大值，

当时，，，有=2；

当时，此时直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

(2)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，．

综上所述，有=．

(II)若a>0，则>0，此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)；

若－<a<0，则<－2，此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)；

若－<a≤－，则－2≤<－，

此时g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)；

若－≤a≤－，则－≤≤－，

此时g(a)=g( ) Û =恒成立；

若－2≤a<－，则－<≤－，

此时g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)；

若a<－2，则－<<0，

此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ．

综上所述，满足的所有实数a为：或．

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系

变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函

数图象知同号，而由中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去．

又由知，当时，，此时与中图形不符，当时，，与中图形相符．

变式2： 解：原命题可变为：求方程，，

中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求．

解不等式组得 ，

故符合条件的取值范围是或．

变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = －，

∵　 g(x) = f (x)－x = a x ² + (b－1) x + 1，a > 0，

由　 x₁，x₂ 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x₁ < 1 < x₂，

∴　 g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ．

(II) △= (b－1) ²－4a > 0 Þ (b－1) ² > 4a，

　　　 　　　 x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = ，

∴　 | x₁－x₂ | ² = (x₁ + x₂) ²－4x₁x₂ = () ²－= 2 ²，

∴　 (b－1) ² = 4a + 4a ²　　　 (*)

又　　 | x₁－x₂ | = 2，

∴ x₁、x₂ 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，

要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，

则 g(x) 对称轴 x = Î (－3,3)，

∴ －3 < < 3 Þ a > | b－1 |，

把代入 (*) 得：(b－1) ² > | b－1 | + (b－1) ²，

解得：b < 或 b > ，

∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x ² + 2x + 1 > 0 的解集为 R，

∴应有　 　Þ a > 1，

∴　 实数 a 的取值范围是(1,+¥) ．

(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x ² + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值．

1° 当 a = 0 时，a x ² + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；

2° 当 a ≠ 0 时，应有　Þ 0 < a≤1．

∴　 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

在上恒成立，即在上恒成立．

⑴， ；

⑵，．

综上所述．

解法二：(运用根的分布)

⑴当，即时，应有， 即，不存在；

⑵当，即时，应有，

即，；

⑶当，即时，应有，即 ，

综上所述．

变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0，

∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1，

(II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x ²－(c + 1) x + c 　　　 (*)

∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) ²－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0

Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，对任意 b 成立．

∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ，

∴　 c≥(2 + cos b )_max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin ²a－(c + 1) sin a + c，

设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t ²－(c + 1) t + c，－1≤t≤1，

这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，

由 (II) 知：t≥= 2，

∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．

∴ g(t)_max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8，

∴ c = 3

∴ b = －c－1 = －4．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域

变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是．

变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin²x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，

则y=－2t²+t+1，其中tÎ [－1,1]，

∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．

变式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)，

∴ －　= 1，

又方程 f (x) = x 有等根 Û a x ² + (b－1) x = 0 有等根，

∴ △= (b－1) ² = 0 Þ b = 1 Þ a = －，

∴ f (x) = －x ² + x．

(II) ∵　　 f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，

1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，

∴　 3m = f (x)_min = f (n) = －n ² + n　　　 (*)，

　　　 　　　　 3n = f (x)_max = f (m) = －m ² + m，

两式相减得：3 (m－n) = －(n ²－m ²) + (n－m)，

∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，

代入 (*) 化简得：n ²－8n + 48 = 0 无实数解．

2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，

∴　 3m = f (x)_min = f (m) = －m ² + m，

　　　 　　　　 3n = f (x)_max = f (n) = －n ² + n，

∴　　 m = －4，n = 0．

3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，

∴　 3n = f (x)_max = f (1) = 　Þ n = 与 n≥1 矛盾．

综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．