20、解：(1)当时，，

　 ∴在上单调减，在上单调增.

∴,　　　　　　　　 ………5分

成立，………7分

(2)当时， ，在上恒成立. …9分

∴ 在上单调增.(且连续)

且，…………10分

,在时单调增，∴………13分

∴由零点存在定理知，函数在内存在零点.　　　　　　 …………14分

20．(本小题满分14分)已知函数

(1)当时，若函数的定义域是R，求实数的取值范围；

(2)试判断当时，函数在内是否存在零点.

22．(本小题满分14分)

如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂＝3：1.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；

(Ⅱ) 设.

　　①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，

求的值；

②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是

否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.

解(Ⅰ)设，则.由题设及椭圆定义得

，消去得，所以离心率.―――――――3分

(Ⅱ)解法一： 由(1)知，，所以椭圆方程可化为 .

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.

由得　，解得，

∴　点的坐标为.

又，所以，，所以，.―――6分

②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.

证明　设，，则.

若为椭圆的长轴端点，则或，

所以.――――――――――――――――――――――8分

若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以.

又直线的方程为，所以由得

.

，

∴.

由韦达定理得　，所以.　同理.

∴.

综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.―――――――14分

解法二：设，，则

∵，∴；………………8分

又①，②，将、代入②得：

　　 　即③；

③①得：；……………12分

同理：由得，∴，∴.…14分

21．(本小题满分12分)

设函数

　　 (1)证明有两个不同的极值点;

　　 (2)对于⑴中的，若不等式成立，求的取值范围.

解(1)……………1分

：

，…………3分

因此是极大值点，是极小值点.…………………6分

(II)因：，

………8分

又由(I)知……………………10分

代入前面不等式，两边除以(1+a)，并化简得

.……………12分

20．(本小题满分12分)

已知数列是等比数列，，如果是关于的方程：两个实根，(是自然对数的底数)

(1)求的通项公式；

(2)设： ，是数列的前项的和，当：时，求的值；

(3)对于(2)中的，设： ，而 是数列的前项和，求的最大值，及相应的的值。

解：(1)由于 是已知方程的两根，所以，有：即： ，

而：，得 　两式联立得： 所以，

故 得数列的通项公式为： ……………………………………4分

(2)，所以，数列是等差数列，由前项和公式得：

　　 ，得 ，所以有： ………………7分

(3)由于 　得：　 　　又因为

，所以有：，　 而

且 当：时，都有 　，但是，

即： 所以，只有当：时，的值最大，此时………………………………………12分

21.(Ⅰ)　　　　　　 ………………3分

⑴ 当时，恒成立，在上是增函数；

⑵ 当时，令，即，解得.

因此，函数在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增.

令，解得.

因此，函数在区间 内单调递减.　 ………………8分

(Ⅱ)当时，函数取得极值，即 ，

由(Ⅰ)在单调递增，在单调递减，单调递增.

在时取得极大值；在时取得极小值，

故在上，的最大值是，最小值是；

对于任意的　　　　 　　　………………14分

21.(本小题满分14分)

设，函数 .

(Ⅰ)求函数 的单调区间；

(Ⅱ)当时，函数 取得极值，证明：对于任意的 .

20.(Ⅰ)由得，相减得：，∴　

　又　　 　………………5分

(Ⅱ)①

　　 　 ，②

　　 　 ①－②得，

则. 　　　　　　　　　　　　　　　　………………9分

　　 　 当n=1时，

　　 　 即当n=1或2时，

　　 　 当n>2时，　　　　　　 　　　　　　……………13分

20. (本小题满分13分)

设数列 的前项和为，且 ．

(I)求数列 的通项公式；

(Ⅱ)设数列 的前n项和为，对任意 ，比较 　与 的大小.

19.(Ⅰ).椭圆，，,

.　　　　　　　 　　　………………5分

(Ⅱ)设点，过点的圆的切线方程为 　即。

由得 　，令 得，故点

,又 　

.　　　　　　 　　　　　　　　　　　………………………………12分