5．双曲线C和椭圆4x²+y²＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．4x²－2y²＝1　 　　　　　　　　　　　 B．2x²－y²＝1

C．4x²－2y²＝－1　 　　　　　　　　　 D．2x²－y²＝－1

解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)双曲线的焦点坐标为(0，±)，又＝，

∴b＝，a＝.即双曲线方程为4x²－2y²＝－1，故选C.

答案：C

4．椭圆+＝1的左、右焦点是F₁、F₂，P是椭圆上一点，若|PF₁|＝3|PF₂|，则P点到左准线的距离是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．6　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．8

解析：a＝＝2，b²＝3，c＝＝1.

因为|PF₁|+|PF₂|＝2a＝4，

图1

|PF₁|＝3|PF₂|

所以|PF₂|＝1

如图1所示，P点是右顶点；

左准线x＝－＝－4，故P到左准线距离是：2－(－4)＝6.

答案：C

3．一动圆圆心在抛物线x²＝4y上，动圆过抛物线的焦点F，并且恒与直线l相切，则直线l的方程为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．x＝1　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝－1

C．x＝　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝－

解析：利用抛物线定义知选B.

答案：B

2．抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C．|a|　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－

解析：由抛物线定义及标准方程知，选B.

答案：B

1．方程2x²+ky²＝1表示的曲线是长轴在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　)

A．(0，+∞)　　　　B．(2，+∞)

C．(0,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(0，)

解析：方程为+＝1，由此>即0<k<2.

答案：C

22．(14分)

　(2009·北京东城模拟)如图17所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．

图17

　(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求二面角E－AC－D的大小；

(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.

同理CD⊥PA，

∴PA⊥平面ABCD.

　(2)建立如图18所示的空间直角坐标系A－xyz，

图18

则A(0,0,0)，C(2,2,0)、E(0,1,1)．

设m＝(x，y，z)为平面AEC的一个法向量．

则m⊥，m⊥.

又＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，

∴

令x＝1，则y＝－1，z＝1，得m＝(1，－1,1)

又＝(0,0,2)是平面ACD的一个法向量，

设二面角E－AC－D的大小为θ，则

cosθ＝cos?m，?＝AP,\s\up6(→\s\up7(　＝＝.

∴二面角E－AC－D的大小为arccos.

(3)设F(2，t,0)(0≤t≤2)，n＝(a，b，c)为平面PAF的一个法向量，则n⊥，n⊥.

又＝(0,0,2)，＝(2，t,0)，∴

令a＝t，则b＝－2，c＝0，

得n＝(t，－2,0)．

又＝(0,1,1)．

∴点E到平面PAF的距离为＝，

∴＝，解得t＝1，即F(2,1,0)．

∴在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为.

21．(12分)(2009·唐山二模)如图15，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面所成的角为60°，AB＝BC，A₁A＝A₁C＝2，AB⊥BC，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC.

(1)证明：A₁B⊥A₁C₁；

(2)求二面角A－CC₁－B的大小；

(3)求经过A₁、A、B、C四点的球的表面积．

图15

图16

解：取AC中点为O，由A₁A＝A₁C，AB＝BC，知A₁O⊥AC，BO⊥AC，又平面AA₁C₁C⊥平面ABC，所以A₁O⊥OB.

建立如图16所示的坐标系O－xyz，则A(0，－1,0)，

B(1,0,0)，A₁(0,0，)，C(0,1,0)．

(1)∵＝(1,0，－)，＝＝(0,2,0)，

∴·＝0，∴A₁B⊥A₁C₁.

(2)设n＝(x，y，z)为面BCC₁的一个法向量．

∵＝(－1,1,0)，＝＝(0,1，)，

又n·＝n·＝0，

∴取n＝(，，－1)．

又m＝(1,0,0)是面ACC₁的法向量，

cos?m，n?＝＝＝.

由点B在平面ACC₁内的射影O在二面角的面ACC₁内，知二面角A－CC₁－B为锐角，

所以二面角A－CC₁－B的大小为arccos.

(3)设球心为O₁，因为O是△ABC的外心，A₁O⊥平面ABC，

所以点O₁在A₁O上，则O₁是正三角形A₁AC的中心．

则球半径R＝A₁A＝，球表面积S＝4πR²＝π.

20．(12分)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB＝CC₁＝a，BC＝b.

(1)设E，F分别为AB₁，BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；

(2)求证：A₁C₁⊥AB；

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离．

图14

解：(1)∵E，F分别为AB₁，BC₁的中点，∴EF∥A₁C₁.

∵A₁C₁∥AC，

∴EF∥AC，∴EF∥平面ABC.

(2)∵AB＝CC₁，∴AB＝BB₁.

又三棱柱为直三棱柱，

∴四边形ABB₁A₁为正方形，

连结A₁B，则A₁B⊥AB₁.

又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁，∴AB₁⊥A₁C₁.

又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，∴A₁C₁⊥AB.

(3)∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁，

∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离，过A₁作A₁G⊥AC₁于G.

∵AB⊥平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁G，

从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，

求得A₁G＝.

19．(12分)(2009·湖北联考)如图13，长方体AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点．

(1)试在底面A₁B₁C₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；

(2)求四面体EFGB₁的体积．

图13

解：(1)取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，∴EH∥B₁G，又B₁G⊂平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.

即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁时，EH∥平面FGB₁.

18．(12分)如图11，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，∠BCD＝α(0<α<)．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD.

图11

　(1)求点B′到平面ACD的距离(用α表示)；

(2)当AD⊥B′C时，求三棱锥B′－ACD的体积．

解：(1)作B′E⊥CD于E.

∵平面B′CD⊥平面ACD，

∴B′E⊥平面ACD.

∴B′E的长为点B′到平面ACD的距离．

B′E＝B′C·sinα＝sinα.

图12

　(2)∵B′E⊥平面ACD，

∴CE为B′C在平面ACD内的射影．

又AD⊥B′C，∴AD⊥CD(CE)．

∵AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，

∴D为AB中点，且α＝.

∴S_△ACD＝·AC·BC＝，B′E＝sin＝.

∴V_B′－ACD＝··＝.