(本小题满分12分)若对于正整数、表示的最大奇数因数，例如，，并且,设

（1）求S₁、S₂、S₃    ； 

（2）求；

（3）设，求证数列的前顶和．

 

 

（本小题满分12分）现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步.

（I）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为，求E；

（II）求质点恰好到达正整数5的概率.

 

在正项数列{a_n}中，令S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

．
（Ⅰ）若{a_n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若Sn=

nP

a1 + an+1

（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{a_n}为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数k，正实数M，对于满足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差数列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁、x₂，总有不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：

an+an+2

2

≤an+1成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a_n}满足如下两个条件：
（1）数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b_n=n²-6n+10．
则数列{a_n}中的第五项a₅的取值范围为．