已知函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为

1

8

的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．

已知f（x）定义域为R，满足：
①f（1）=1＞f（-1）；
②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求f²（3x）+f²（3x-1）的值；
（Ⅲ）是否存在常数A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．如果存在，求出常数A，B的值；如果不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-

2

2

)上为减函数，且在[-

2

2

，0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

已知f（x）=ax²+bx（a≠0，b∈R），且y=f（x+1）为偶函数，方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间[m，n]（m，n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．