如图，在平面直坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率．且椭圆C与直线y=x+

3

有且只有一个交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不经过原点的直线l与椭圆C相交与A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．

（2013•温州二模）己知F₁，F₂分别是双曲线x2-

y2

b2

=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷长AF₂交双曲线右支于点B，则△F₁AB及的面积等于．

（2011•宁波模拟）点（a，b）为第一象限内的点，且在圆（x+1）²+（y+1）²=8上，ab的最大值为．

如图，双曲线C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

为定值（其中kAA1表示直线AA₁的斜率，kAA2等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．