(本小题满分16分)已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.

（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；

（2）若，直线的斜率为，求证：；

（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

(本小题满分16分)

已知，其中是自然常数，

 (1)讨论时, 的单调性、极值；

 (2)求证：在（1）的条件下，；

 (3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

(本小题满分16分)

已知函数 (为实常数)．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

 (本小题满分16分)

已知函数

(1) 若时，恒成立，求的取值范围；

(2) 若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围．

(本小题满分16分)已知函数的图象在上连续不断，定义：

，

其中，表示函数在区间上的最小值，表示函数在区间上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“阶收缩函数”.

(1)若，试写出的表达式；

(2)已知函数试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出相应的；如果不是，请说明理由；

(3)已知函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.