设函数f(x)=

x+ 1 x

[x]•[ 1 2 ]+[x]+[ 1 2 ]+1

（x＞0），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2]=2，[

1

3

]=0，[1.8]=1．
（1）求f(

3

2

)的值；
（2）若在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求实数k的取值范围．

设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求f（x）=x³+ax²+bx在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由；
（3）设存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围．

设函数f(x)=

x3

3

-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；
（2）若x∈[a，3a]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切
①求实数a，b的值；
②求函数f(x)在[

1

e

，e]上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=

1

x

，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x₀＞0，使得|g（x）-g（x₀）|＜

1

x

对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在请说明理由．