. (本小题满分14分)

 已知函数.

(I) 若函数在处取得极值为-1.求、的值；

(II)若，求的单调区间

(III)在(I)的条件下令，常数，若的图象与轴交于、两点，线段的中点为，求证：

(本小题满分14分)已知函数（其中是自然对数的底数，为正数）

（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；（II）若，求在区间上的最大值；（III）设函数在区间上是减函数，求的取值范围。

(本小题满分14分) 已知函数

其图象过点．

      (I) 求的值；

      (Ⅱ) 将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数

的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

(本小题满分14分) 已知函数

（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

(本小题满分14分)

已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在， 使得不等式成立. 若，是数列的前项和.

（I）求数列的通项公式；

（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；

（Ⅲ）设（且），使不等式

 恒成立，求正整数的最大值．