.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系上，设不等式组（）所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列的前r项和为，数列的前r项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系上，设不等式组（）所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列的前r项和为，数列的前r项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。

(本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组（）

所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均

为整数的点）的个数为.

（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；

（Ⅱ）设数列的前_r项和为，数列的前_r项和,

是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，

求出m的值，若不存在，请说明理由。

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数的底数）．