己知函数f(x)=log3

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象点的两点，横坐标为

1

2

的点P是M，N的中点．
（1）求证：y₁+y₂的定值；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N*，n≥2)，an=

1 6 ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

(n∈N*)，T_n为数列{a_n}前n项和，当T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N*都成立时，试求实数m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设bn=

1

4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1

，B_n为数列{b_n}前n项和，证明：Bn＜

17

52

．

已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）在区间(0，

2

3

)上递增，在区间[

2

3

，+∞）上递减，求a的值；
（2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（

3

2

，+∞），求θ的取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+

1

a2+1

是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．