如图，矩形ABCD中，O为对角线交点，过O作直线分别与BC、AD交于点M、N．
（1）梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积有何关系？说明理由．
（2）如图，将矩形ABCD沿MN折叠，当折痕MN满足什么条件时，点C刚好与点A重合？（只写出答案，不要求说理）
（3）在（2）的条件下，若折叠后不重叠部分的面积是重叠部分的面积的一半，求BN：NC的值．

如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：

	∠BDA	∠CED
第一次测量结果
第二次测量结果

探索：（1）观察实验结果，猜想∠BDA与∠CED的大小有何关系？并证明你的结论；
（2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）

Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，过C作CP⊥AB，垂足为P，一直角顶点与P重合，两边分别交AC，BC于F，E．
（1）PF，PE有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若图中“AC=BC”改为“AC≠BC”，其他条件不变，则PF、PE的数量关系怎样？与AC，BC两边的长有何关系？为什么？若AC：BC=2：1，则PF、PE的数量关系怎样？