阅读下列材料：
在平面直角坐标系中，若点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则P₁、P₂两点间的距离为 $数学公式$ ．例如：若
P₁（3，4）、P₂（0，0），则P₁、P₂两点间的距离为 $数学公式$ ．
设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式 $数学公式$ ，即x²+y²=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x²+y²=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x²+y²=1称为⊙O的方程．
在平面直角坐标系中，若点P₀（x₀，y₀），则P₀到直线y=kx+b的距离为 $数学公式$ ．
请解答下列问题：
（I）写出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程．
（II）求出原点O到直线 $数学公式$ 的距离．
（III）已知关于x、y的方程组： $数学公式$ ，其中n≠0，m＞0．
①若n取任意值时，方程组都有两组不相同的实数解，求m的取值范围．
②当m=2时，记两组不相同的实数解分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
求证： $数学公式$ 是与n无关的常数，并求出这个常数．

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阅读下列解题过程，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题：
问题：某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋、3个鹅蛋共用去了3.20元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元．
分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需x、y、z元，则需要求x+y+z的值．由题意，知

13x+5y+9z=9.25---(1)

2x+4y+3z=3.20----(2)

；
视x为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解．
解法1：视x为常数，依题意得

5y+9z=9.25-13x---(3)

4y+3z=3.20-2x----(4)

．
解这个关于y、z的二元一次方程组得

y=0.05+x

z=1-2x

．
于是x+y+z=x+0.05+x+1-2x=1.05．
评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于x、y的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试．
分析：视x+y+z为整体，由（1）、（2）恒等变形得5（x+y+z）+4（2x+z）=9.25，4（x+y+z）-（2x+z）=3.20．
解法2：设x+y+z=a，2x+z=b，代入（1）、（2）可以得到如下关于a、b的二元一次方
程组

5a+4b=9.25---(5)

4a-b=3.20----(6)

．
由⑤+4×⑥，得21a+22.05，a=1.05．
评注：运用整体的思想方法指导解题．视x+y+z，2x+z为整体，令a=x+y+z，b=2x+z，代入①、②将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组从而获解．
请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题：
购买五种教学用具A₁、A₂、A₃、A₄、A₅的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？

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阅读下列解题过程，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题：
问题：某人买13 个鸡蛋，5 个鸭蛋、9 个鹅蛋共用去了9.25 元；买2 个鸡蛋，4 个鸭蛋、3 个鹅蛋共用去了3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元。
分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需x 、y 、z 元，则需要求x+y+z 的值，
由题意，知

；
视x为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解。
解法1：视x为常数，依题意得

解这个关于y、z的二元一次方程组得

于是x+y+z=x+0.05+x+1-2x=1.05。
评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于x、y的二元一次方程组。
解答方法同上，你不妨试试．分析：视x+y+z为整体，由（1）、（2）恒等变形得
5（x+y+x）+4（2x+z）=9.25，4（x+y+z）-（2x+z）=3.20。
解法2：设x+y+z=a，2x+z=b，代入（1）、（2）可以得到如下关于a、b的二元一次方程组

由⑤+4×⑥，得21a=22.05，a=1.05。
评注：运用整体的思想方法指导解题，视x+y+z，2x+z为整体，
令a=x+y+z，b=2x+z，代人①、②将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组从而获解。
请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题：购买五种教学用具A₁、A₂、A₃、A₄、A₅的件数和用钱总数列成下表：