（2012•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点（-1，

2

2

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得

QA

•

QB

=-

7

16

恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

（2008•闸北区二模）如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁、A₂为椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）设F₁为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF₁|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；
（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA₂⊥BA₂，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

（2011•海淀区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为

2

2

．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满
足

BA

•

BF

=2，求△ABF外接圆的方程．

（2013•泰安二模）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M是椭圆上的任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左焦点F₁作直线l交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在这样的直线，使

AP

•

AQ

=3，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

（2010•桂林二模）已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为

2

+1，最小值为

2

-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，求△AOB面积S的最大值．