已知函数f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)．
（1）讨论f（x）的单调性及极值；
（2）设0＜a≤

2

，证明：对任意x1：x2∈(0，

a

2

)，|f(x1)-f(x2)|≥a|x_-x2|．

函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；
（2）当x＞1时，f（x）＜2；
（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的问题
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

函数f（x）满足：①定义域是（0，+∞） ②当x＞1时，f（x）＜2；③对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2
（1）求出f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）写出一个满足上述条件的具体函数．

已知函数f(x)=

4x

x2+a

．请完成以下任务：
（Ⅰ）探究a=1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上的最大值．为此，我们列表如下

x	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

请观察表中y值随x值变化的特点，解答以下两个问题．
（1）写出函数f（x），在[0，+∞）上的单调区间；指出在各个区间上的单调性，并对其中一个区间的单调性用定义加以证明．
（2）请回答：当x取何值时f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下两个步骤研究a=1时，函数f(x)=

4x

x2+a

，(x∈R)的值域．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）结合已知和以上研究，画出函数f（x）的大致图象，指出函数的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定义域为（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-

3

2

)＞0．