已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，求证：存在定点，

使得为定值，并求出的坐标；

（3）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为，连接 并延长交椭圆于

点，求证：以为直径的圆经过点.

．（本小题满分14分）

已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的动

点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，

使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接 并延长

交椭圆于点，证明：；

（江西卷理）（本小题满分12分）

已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.            

(1)    求线段的中点的轨迹的方程;

(2)    设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.

（本题满分12分）

如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．