（本小题满分14分）

已知以点为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于、

两点，其中为坐标原点.

（1）求证：的面积为定值；

（本小题满分14分）已知定义在上的函数，满足条件：①，②对非零实数，都有．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，直线分别与函数，交于、两点，（其中）；设，为数列的前项和，求证：当时， ．

（本小题满分14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10海里的位置C.

（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由

（本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.

（I）若，，，求方程在区间内的解集；

（II）若点是曲线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；

（III）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】