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    (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答.主要引起学生思考.随即引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导: (1)建系设点 取过焦点F1.F2的直线为x轴.线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系． 设M(x.y)为双曲线上任意一点.双曲线的焦距是2c.那么F1.F2的坐标分别是．又设点M与F1.F2的距离的差的绝对值等于常数． (2)点的集合 由定义可知.双曲线就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． (3)代数方程 (4)化简方程 将这个方程移项.两边平方得: 化简得: 两边再平方.整理得: x2-a2y2=a2． (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．) 由双曲线定义.2c＞2a 即c＞a.所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2.代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2． 这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较: 教师指出: (1)双曲线标准方程中.a＞0.b＞0.但a不一定大于b, (2)如果x2项的系数是正的.那么焦点在x轴上,如果y2项的系数是正的.那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上． (3)双曲线标准方程中a.b.c的关系是c2=a2+b2.不同于椭圆方程中c2=a2-b2． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    课本中只针对椭圆的标准方程形式来讨论了相应的椭圆所具有的性质，对于其方程不是标准方程(或经过变形也不能转化为标准方程的形式)的椭圆是否也具有相似的性质呢？

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    已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
    		3
    2
    ，且与椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    13
    =1    有共同的焦点．
    （1）求此双曲线的标准方程；
    （2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
    （重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

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    已知三点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）
    （1）求以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程；
    （2）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、
    F
    ′
    1
    、
    F
    ′
    2
    ，求以
    F
    ′
    1
    、
    F
    ′
    2
    为焦点且过点P′的椭圆的标准方程．

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    （2013•安庆三模）已知焦点在x轴上的椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    12
    =1和双曲线C2：
    x2
    m2
    -
    y2
    n2
    =1的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为（
    4
    		10
    5
    ，
    6
    		5
    5
    ），设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）．
    （1）试求椭圆C1和双曲线C2 的标准方程；
    （2）若直线l与椭圆C1交于不同两点A、B，与双曲线C2交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量
    AC
    +
    BD
    =
    0
    ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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    （2008•成都三模）已知圆C以双曲线
    x23
    -y2=1    的右焦点为圆心，并经过双曲线的左准线与渐近线的交点，则圆C的标准方程为
    （x-2）2+y2=13
    （x-2）2+y2=13
    ．

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