设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g(

kx

3

)-f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥

3

2

）．

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图像与x轴的交点也在函数g（x）的图像上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线.[来源:学。科。网]

（Ⅰ）求a、b的值； 

（Ⅱ）设x>0，试比较f（x）与g（x）的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【解析】第一问解：因为f（x）=lnx，g（x）=ax+

则其导数为

由题意得，

第二问，由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，            …………9分

∴当时，，有；当时，，有；当x=1时，，有

解：因为f（x）=lnx，g（x）=ax+

则其导数为

由题意得，

（11）由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，            …………9分

∴当时，，有；当时，，有；当x=1时，，有

 

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c．

(Ⅰ)若函数f(x)在x=1时有极值且在函数图像上的点(0，1)处的切线与直线3x+y=0平行，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)当f(x)在x∈(0，1)取得极大值且在x∈(1，2)取得极小值时，设点M(b-2，a+1)所在平面区域为S，经过原点的直线L将S分为面积比为1：3的两部分，求直线L的方程．