已知P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂为该双曲线的左、右焦点，若∠F1PF2=

π

3

，则△F₁PF₂的面积为．

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左边xⁿ的系数为

C

n 2n

，而右边(1+x)n(1+x)n=(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)，xⁿ的系数为

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n-1 n

+

C

2 n

C

n-2 n

+…+

C

n n

C

0 n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2=

C

n 2n

．
利用上述方法，化简(

C

0 2n

)2-(

C

1 2n

)2+(

C

2 2n

)2-(

C

3 2n

)2+…+(

C

2n 2n

)2=．

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左边xⁿ的系数为

C

n2n

，而右边(1+x)n(1+x)n=(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)，xⁿ的系数为

C

0n

C

nn

+

C

1n

C

n-1n

+

C

2n

C

n-2n

+…+

C

nn

C

0n

=(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2=

C

n2n

．
利用上述方法，化简(

C

02n

)2-(

C

12n

)2+(

C

22n

)2-(

C

32n

)2+…+(

C

2n2n

)2=______．