若有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N*）的对称数列，使得1，2，2²…2^m-1成为数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2013项和S₂₀₁₃所有可能的取值的序号为（　　）
①2²⁰¹³-1
②2（2²⁰¹³-1）
③2^m+1-2^2m-2013-1
④3•2^m-1-2^2m-2014-1．

对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{

1

2n

}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}满足：S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，求{a_n}的通项公式；
（3）证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{

1

2n

}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}的通项公式为an=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．