对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)利用:当>0.d<0.前n项和有最大值可由 ≥0.且≤0.求得n的值当<0.d>0.前n项和有最小值可由 ≤0.且≥0.求——青夏教育精英家教网—

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)利用:当>0.d<0.前n项和有最大值可由 ≥0.且≤0.求得n的值当<0.d>0.前n项和有最小值可由 ≤0.且≥0.求得n的值 (2)利用:由二次函数配方法求得最值时n的值 [精典范例] [例1]已知一个等差数列的前四项和为21.末四项和为67.前项和为286.求数列的项数. 分析条件中的8项可分为4组.每组中的两项与数列的首.尾两项等距. [解] .. . [例2]已知两个等差数列{an}.{bn}.它们的前n项和分别是Sn.Sn′.若,求. [解法一] ∵2a9=a1+a17, 2b9=b1+b17,∴S17==17a9, S17′==17b9,∴. [解法二] ∵{an}.{bn}是等差数列.∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′ n(A.B.A′.B′∈R),∵, 进而可设Sn=(2n2+3n)t, Sn′=(3n2-n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)t-［2(n-1)2+3(n-1)t］=(4n+1)t, ∴a9＝37t. 同理可得bn=Sn′-Sn-1′=(3n2-n)t-［3(n-1)2-(n-1)］t =(6n-4)t, ∴b9=50t,∴. [例3]数列{an}是首项为23.公差为整数的等差数列.且第六项为正.第七项为负. (1)求数列的公差. (2)求前n项和Sn的最大值. (3)当Sn＞0时.求n的最大值. [解] (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0, 解得:-＜d＜-,又d∈Z,∴d=-4 (2)∵d＜0.∴{an}是递减数列.又a6＞0.a7＜0∴当n=6时.Sn取得最大值.S6=6×23+ (-4)=78 (3)Sn=23n+ (-4)＞0.整理得: n(50-4n)＞0 ∴0＜n＜,又n∈N*, 所求n的最大值为12. 点评: 可将本题中的公差为整数的条件去掉.再考虑当n为何值时.数列{an}的前n项和取到最大值. [例4]等差数列中.该数列的前多少项和最小? 思路1: 求出的函数解析式(n的二次函数, ).再求函数取得最小值时的n值. 思路2: 公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为: 思路3: 由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0. 思维点拔: 说明:根据项的值判断前项和的最值有以下结论: ①当时.. 则最小, ②当时.. 则最大, ③当时.. 则最小, ④当时. . 则最大 [追踪训练一] 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知等差数列的公差为负数，且，若经重新排列后依次可成等比数列，求⑴数列的通项；⑵数列的前项和的最大值。