已知函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x-1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值及取得最值时的x的取值．

已知函数f（x）=ax²，g（x）=2elnx，（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求其最值；
（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

（2009•红桥区一模）已知点M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x）（x∈R），其中O为坐标原点．若f（x）=

OM

•

ON

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的最值，并求出取得最值时的x的取值．

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)2

n!

，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．