练习册

  • 练习册
  • 试题
    8．设{an}的公比为q.{bn}的公差为d.据题意.得 a1+0＝1. ① a1q2+2d＝2a. ③ a1q+d＝a. ② a1q3+3d＝2． ④ 由①.②.③.④.解得a1＝1.q＝2.d＝-2. ∴ an＝2n-1.bn＝-2(n-1).cn＝2n-1-2(n-1)． ∴ Tn＝+(22-4)+-+［2n-1-2(n-1)］ ＝(1+2+22+-+2n-1)-［2+4+-+2(n-1)］＝2n-1-nn≥1时.S2n+1＝an+1(Sn+1+k)． ∵ an+1＝Sn+1-Sn.消去an+1.得 S2n+1＝(Sn+1-Sn)(Sn+1+k). ∴ SnSn+1＝(Sn+1-Sn)k. ∴ (1／Sn)-(1／Sn+1)＝得(1／Sn+1?)-(1／Sn)＝-.∴ {(1／Sn)}是以-为公差的等差数列. ∴ (1／Sn)＝-＝-. ∴ Sn＝-设cn＝Sn)＝-(n2+n)／［k］． ∵ cn成等差数列.∴ cn＝c1+(n-1)d. ∴ -n2-n＝k(nd+c1-d)＝kdpn2+［kdq+kp(c1-d)］n+kq(c1-d). ∴ kdp＝-1. 得p＝q. kdq+kp(c1-d)＝-1. kq(c1-d)＝0 ∴ ＝1． ∴ 是与k无关的常数1． 10．(1)∵a?3-a1=2d,f2. ∴f=2d, 即d2-(d-2)2＝2d. 解得d=2．从而a1=f(1)=0, ∴an=2n-2.? 由(b3／b1)=q2.得(q-2)2／q2=q2.解得 q=-2.从而b1=f(-1)=4, ∴bn=4·(-2)n+1. (2)令xn=(cn／bn),则x1=a2=2,当n≥2时.xn=an+1-an=2,∴xn=2,从而cn=2bn.∴Sn=2(b1+b2+-+bn) =n］. 故?. ?§?2 数列的综合应用 1．B,2．C,3．A,4．D,5．-1或1,6．1, 7．24． 8．(1)当n＝1时.a1＝S1＝,? 当n≥2时. an＝Sn-Sn-1＝-＝． ∴ an＝． 从而an+1-an＝-＝.? ∴ {an}是首项为的等差数列． (2)因为an＝.且4n-1是奇数.所以an≠kπ.从而sinan≠0.即bn≠0． ∵ (bn+1／bn)＝(sinan+3)／sinan＝sin(an+3×／(sinan)＝-1. 又b1＝sina1·sina2·sina3＝sin·sin ＝(／2)·-cos＝(／8).? ∴ {an}是首项为(／8).公比为-1的等比数列.从而对任何n∈N.都有bn＝(／8)(-1)n-1． 9．(1)由韦达定理.得p+q=,pq=t2.又由p,p-q,q成等比数列.有(p-q)2=pq,∴(p+q)2=5pq=5t2.t2＝2.∵t＞0.?∴t= (2)用拆项相消法.得Sn=1-1／(n+1),故只要证明log2≤1-＜log2.即要证＜2.右侧不等式显然成立.左侧不等式即为1／,显然成立． 10?(1)设小李这笔贷款额应为y元.由题意.得 ×40%＝13334. ∴ y＝-13334≈2．00×104(元)． 答:小李应向银行贷款2．00×104设小李每年应还x元.由已知10年还清． 一年后贷款余额为20000-x. 二年后贷款余额为［20000-x ＝200002-x-x -- 10年后的贷款余额为 2000010-x9---x-x. 据题意.得 2000010-x［1+2+-+9］＝0． 解得 x＝(20000×0．1×1．110／1．110-1). ∵ 1．110＝10＝1+10×0．1+C210×0．01+C310×0．001+C410×0.0001+-＝1+1+0.45+0.021+0.00252+-≈2.5937. ∴ x≈3255(元)． 答:小李每年应还3255元． ?§?3 数学归纳法 1．略, 2．Ⅱ1=,Ⅱ2=,Ⅱ3=,为统一形式.将Ⅱ2表示为.由此推测:Ⅱn=.再用数学归纳法证明． 3．略． 4．∵ (n2-1)／(n2+1)＝1-2／(n2+1). f()＝(2-2-)／(2(n／2+2-)＝(2n-1)／(2n+1)＝1-2／(2n+1). ∴ 只需比较2n与n2的大小． 可用“归纳-猜想-证明 的方法来解决.也可以利用二项式定理． 下略． 当n＝1或n≥5时.f()＞(n2-1)／(n2+1),?当n＝2.4时.f()＝(n2-1)／(n2+1),当n＝3时.f()＜(n2-1)／(n2+1)． 5．(1)当n＝1时.有a1+S1＝3.即a1＝,? 当n≥2时.Sn+an＝2n+1. ① 则 ?Sn+1+an+1＝2n+3． ② ②-①.得(Sn+1-Sn)+an+1-an＝2. ∴ an+1＝an+1． 由此得a2＝.a3＝猜想:an＝(2·2n-1)／2n＝2-(1／2n) .证明略． 6．(1)设{an}的公差为d.则 a1+d＝8. 解得a1＝5.d＝3． 10a1+／2d＝185. ∴ an＝a1+Sn＝a2+a4+a8+-+a2n＝+-+(3×2n+2) ＝3×(2-2n+1)／(1-2)+2n＝3×2n+1+2n-6． ∴ (Sn-2n)／3n＝(3×2n+1-6)／3n＝6×n-6×n. ∴ ?． (3)∵ Tn＝n(an+9)＝3n2+11n. ∴ Sn-Tn＝3(2n+1-n2-3n-2)． 欲证n≥4时.Sn＞Tn.只需证当n≥4时.2n+1＞n2+3n+2． 证法1．数学归纳法． 证法2．利用二项式定理． 当n≥4时.2n+1＝(1+1)n+1? ＝C0n+1+C1n+1+C2n+1+-+Cn-1n+1+Cn+1n+1 ≥2(C0n+1+C1n+1+C2n+1)＝n2+3n+4＞n2+3n+2. 即当n≥4时.2n+1＞n2+3n+2. ∴ 当n≥4时.Sn＞Tn． 7．∵ f＝108＝3×36. ?f(3)? ＝360＝10×36.- ∴ 猜想:f(n)能被36整除． 可用数学归纳法证明.略． 因为当m取大于36的整数时.f(1)＝36不能被m整除.所以m＝36为最大． 8．存在bn＝3n+1.取n＝1.2.3.从特殊归纳出一般结论.再用数学归纳法证明(略)． 专题能力测试 一.?1．B,2．C,3．B,4．D,5．C,6．B,7．C,8．D,9．B,10．B,11．D,12．C．? 二.13．;14.219.01, 15．m＞8,16．an＝n+1. 三.17．首先应确定三数的大小关系.而且由“公差为1 知这三数是单调递增的．记x=10a2+81a+207,y=a+2,z=26-2a.由对数的定义域知x＞0,y＞0,z＞0,故有-2＜a＜13.? 作差比较知x最大.而y-z=3(a-8).因a=8时y=z.不符题意.故分-2＜a＜8和8＜a＜13两种情况讨论: (1)-2＜a＜8时.y＜z.这时由lgz-lgy=lgx-lgz=1.得x=10z,z=10y,即10a2+81a+207=10.解得a=当8＜a＜13时.z＜y.这时由lgy-lgz=lgx-lgy=1.得x=10y,y=10z,即10a2+81a+207=10.这时无解． 综合. 18．设能构造这样的等比数列.并且其公比为q.则由条件知a1+a6＝11,a1a6=,即a1=,a6=或a1＝,a6＝． 对a1＝,a6＝.q=2,an=2n-1,由am-1+am+1+=2am2.解得m=2.能使条件成立． 对a1＝,a6＝.同上法.可知其无解． 故能构造出题设的等比数列.其通项公式为an=2n-1. 19．(1)当q＝1时.Sn＝na.Gn＝na2． ∵ a≠0.∴ ． 当0＜q＜1时. (2)∵ S1＝a1＝.而Sn2＝3+(n-1)＝n+2. ∴ Sn＝ ． 当n≥2时. an＝Sn-Sn-1＝-． 当n＝1时.S1＝.3a1＝3.∴ S1＜3a1. 又当n≥2时.33 Sn-3nan＝-3n(-)? ＝3n-·．? ∵ ［3n］2-［］2 ＝-＝-3n2+11n-2 ＝-32+． ∴ 当n＝2.3时.Sn＞3nan, 当n≥4时.?Sn＜3nan．? 20．(1)设第n年甲.乙产品年创外汇分别为an.bn.则 an＝32×2.25n-1?. bn＝216×n-1． 令an＞bn. 则32×2.25n-1＞216×n-1. 即32×n-1＞216×n-1. 32×2n-2＞216×n-1. 3n-5＞3． 3n＞5+lg3／.n＞2.57.∴ 取n＝3． 答:从第三年开始.甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇． (2)设该企业第n年所创外汇为yn.则 yn＝an+bn＝32×2n-2+216×n-1? ＝32×2n-2+108×n-1+108×n-1 ≥3＝216． 当且仅当108×n-1＝32×2n-2.即n＝2时.yn取得最小值216． 所以第二年.即2001年该企业创外汇最少为216万元.该年甲产品创外汇72万元.乙产品创外汇144万元． (3)∵ y4＝a4+b4＝428.5＞140×3＝420. ∴ 该企业到2003年能进入国家重点企业． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设公差为d（d≠0）的等差数列{an}与公比为q（q＞0）的等比数列{bn}有如下关系：a1=b1=2，a7=b3， ab3=9．
    （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）A={a1，a2，a3，…，a20}，B={b1，b2，b3，…，a20}，C=A∩B，求集合C中的各元素之和．

    查看答案和解析>>

    设在公差为d的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a1=b1=a＞0，a4n-1=b4n-1，问是否存在实常数q，使a2n=b2n．

    查看答案和解析>>

    设在公差为d的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a1=b1=a＞0，a4n-1=b4n-1，问是否存在实常数q，使a2n=b2n．

    查看答案和解析>>

    在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3；
    （1）求{an}的公差d和{bn}的公比q；
    （2）设cn=an+bn+2，求数列{cn}的通项公式cn及前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3；
    （1）求{an}的公差d和{bn}的公比q；
    （2）设
    1
    cn
    =
    1
    5
    （an+4），求数列{cncn+1}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案