已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

已知函数f(x)=

1 3 x3+mx2 (x≤0) ex-1 (x＞0).

（1）当x≤0时，函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0，求m的值；
（2）当x＞0时，设f（x）+1的反函数为g^-1（x）（g^-1（x）的定义域即是f（x）+1的值域）．证明：函数h(x)=

1

3

x-g-1(x)在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e²）内有且只有一个零点；
（3）求函数f（x）的极值．

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且AB的中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）＜0．