例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=BC=3.AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．师:首先我们要以概念为指导作出这个角.A1B和AD1所成的角是哪一个角? 生:——青夏教育精英家教网—

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=BC=3.AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．师:首先我们要以概念为指导作出这个角.A1B和AD1所成的角是哪一个角? 生:因为CD1∥A1B.所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．师:∠AD1C在△AD1C中.求出△AD1C的三边.然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．师:我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤:第一是以概念为指导作出所成的角,第二是找出这个角所在的三角形,第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．例2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中.∠C1BC=45°.∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．师:在这例中.我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外.还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系.以便于我们用余弦定理．生:因为BC1∥AD1.所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根师:现在我们来看例3．例3 已知正方体的棱长为a.M为AB的中点.N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．师:我们要求A1M与C1N所成的角.关键还是以概念为指导作出这个角.当一次平移不行时.可用两次平移的方法．在直观图中.根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角? 生:取A1B1的中点E.连BE.由平面几何可知BE∥A1M1.再取EB1的中点F.连FN由平面几何可知FN∥BE.所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．师:还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角? 生:当BE∥A1M后.可取C1C中点G.连BG.则BG∥C1N. 师:这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角.现在我们来看例4．例4 在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AA1=c.AB=a.AD=b.且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．师:根据异面直线所成的角的概念.再根据长方体的基本性质.如何作出AC1与BD所成的角. 生:连AC.设AC∩BD=0.则O为AC中点.取C1C的中点F. 定理.得师:想一想第二个解法生:取AC1中点O1.B1B中点G．在△C1O1G中.∠C1O1G即一可知: 师:想一想第三个解法．当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角．有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线．生:延长CD到E.使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD.所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1.在由余弦定理.得所以∠EAC1为钝角．根据异面直线所成角的定义.AC1与BD所成的角的余弦为师:根据这一道题的三种解法.我们可以看出.当用异面直线所成的角的概念.作出所成的角.这时所作出的角可能是异面直线所成的角.也可能是它的邻补角.在直观图中无法判定.只有通过解三角形后.根据这个角的余弦的正.负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角．(异面直线所成的角的邻补角) 今天就讲这四个例题.这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角．作业补充题 3．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.O是正方形ABCD的中心.E.F分别是AB.BC中点．求:(1)异面直线A1D1和CD的距离,(2)异面直线C1O和EF的距离．【查看更多】

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与 A₁D所成的角的余弦值为。

查看答案和解析>>

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝3，AA₁＝4，则异面直线AB₁与A₁D所成的角的余弦值为________

查看答案和解析>>

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，BC＝3，AA₁＝5，则A₁C与平面ABCD所成角的正切值为