题目列表(包括答案和解析)
由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
(Ⅲ)利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值．
⑴ 求
－
的值；
⑵ 已知tana＝3,求
的值.
【解析】第一问中利用－
第二问，借助于二倍角的余弦公式和正弦公式，则有
由倍角公式
，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得
，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．
(Ⅰ)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；
(Ⅱ)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
(Ⅲ)利用结论
，求出sin18°的值．
已知sina＝
,aÎ(
,p)，cosb＝－
，b是第三象限的角.
⑴ 求cos(a－b)的值；
⑵ 求sin(a＋b)的值；
⑶ 求tan2a的值.
【解析】第一问中∵ aÎ(,p),∴ cosa＝－
＝－
, ∵ b是第三象限的角，
∴ sinb＝－
＝－
,
cos(a－b)＝cosa·cosb＋sina·sinb ＝(－)×(－)＋×(－)＝－
⑵ 中sin(a＋b)＝sina·cosb＋cosa·sinb ＝×(－)＋(－)×(－)＝
⑶ 利用二倍角的正切公式得到。∵tana＝
＝－
∴tan2a＝
＝
＝－
解∵ aÎ(,p),∴ cosa＝－＝－, …………1分
∵ b是第三象限的角，∴ sinb＝－＝－, ………2分
⑴ cos(a－b)＝cosa·cosb＋sina·sinb …………3分
＝(－)×(－)＋×(－)＝－
………………5分
⑵ sin(a＋b)＝sina·cosb＋cosa·sinb ……………………6分
＝×(－)＋(－)×(－)＝
…………………8分
⑶ ∵tana＝＝－
…………………9分
∴tan2a＝
………………10分
＝＝－
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