（2012•武汉模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．

已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+

a-1

x

+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在实数a，使以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立？
（2）当a≤

1

2

时，讨论F（x）的单调性．

已知偶函数f（x）在R上可导，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2）则曲线y=f（x）在x=-5处的切线的斜率为．

（2010•福建模拟）已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．