(二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x.y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A.B(x2.y2)两点.则弦长|AB|为: (2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F.则可用焦半径求弦长.|AB|=|AF|+|BF|． A.B两点.旦|AB|=8.求倾斜角α．分析一:由弦长公式易解．由学生演板完成．解答为: ∵ 抛物线方程为x2=-4y. ∴焦点为．设直线l的方程为y-.即y=kx-1．将此式代入x2=-4y中得:x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4.x1+x2=-4k． ∴ k=±1． ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果.由学生课外完成． 2．与圆锥曲线有关的最值的问题在解析几何中求最值.关键是建立所求量关于自变量的函数关系.再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x.y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4.求: (1)x2+y2的最大值与最小值, (2)x+y的最大值与最小值．解(1): 将x2+4(y-1)2=4代入得: x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y 由点2=4知: 4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1． ∴0≤y≤2．当y=0时.(x2+y2)min=0．解(2): 分析:显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y.则将此代入x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程.借助于判别式可求得最值．令x+y=u. 则有x=u-y．代入x2+4(y-1)2=4得: 5y2-y+u2=0．又∵0≤y≤2. ∴[-]2-4×5×u2≥0． 3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等.角相等.直线平行.垂直的证明方法.以及定点.定值问题的判断方法．例3 在抛物线x2＝4y上有两点A(x1.y1)和B且满足|AB|=y1+y2+2.求证: (1)A.B和这抛物线的焦点三点共线, 证明: (1)∵抛物线的焦点为F(0.1).准线方程为y=-1． ∴ A.B到准线的距离分别d1＝y1+1.d2=y2+1．由抛物线的定义: |AF|=d1=y1+1.|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|．即A.B.F三点共线． (2)如图2-46.设∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2. 又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质． 4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题.一般可用两个方程联立后.用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题:方法1.由“△≥0 与直观图形相结合,方法2.由“△≥0 与根与系数关系相结合,方法3.转换参数法．实数a的取值范围．可得:y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0. 如图2-47.可知: 【查看更多】

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题．

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已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题．

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已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ=

8sinθ

1+cos2θ

，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．

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已知圆锥曲线C的极坐标方程为ρ=

8sinθ

1+cos2θ

，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离．

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