如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段

AB

所成的比为λ，证明：

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，C₁与C₂在第一象限的交点为P（

3

，

1

2

）
（1）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足

AM

+

BM

=

0

，直线FM的斜率为k₁，试证明k•k₁＞

-1

4

．

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线y=

2

x上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q(-

2

，0），求

QM

.

QN

的最小值．

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1，已知点P（1，

3

），过点P作互相垂直且分别与圆M圆N相交的直线l₁，l₂，设l₁被圆M截得的弦长为s，l₂被圆N截得的弦长为t，

s

t

是否为定值？请说明理由．