(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数=（）.

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)若函数的图象按=（，）平移后得到函数的图象,求在[0，]上的最大值.

矩形的中心在坐标原点，边与轴平行，=8，=6.分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.

（1）求以为长轴，以为短轴的椭圆Q的方程；

（2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.

（3）设线段的（等分点从左向右依次为，线段的等分点从上向下依次为，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

（本小题6分）

如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点

在边所在直线上．求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边所在的直线方程.                                 

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题6分）

已知双曲线：的一个焦点是，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）设经过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上．

（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由．

第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，

求证：；

（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，求的值