给出下列五个命题：其中正确的命题有（填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积S=

∫

π -π

sinxdx；
②

C

r+1 n+1

=

C

r+1 n

+

C

r n

；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用数学归纳法证明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

＞

13

24

即可．

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用数学归纳法证明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

时，f（2^k+1）比f（2^k）多的项数是．

用数学归纳法证明不等式1+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

＞

127

64

（n∈N^*）成立，其初始值至少应取．

“数学史与不等式选讲”模块
（1）用数学归纳法证明不等式：|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）求函数f（x）=sin³xcosx，x∈（0，

π

2

）的最大值．