四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若点E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？

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四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成的角的正切值。

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使得三棱锥F-ACE的体积恰为

4

3

，若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD，PD=3a．
（1）求三棱锥B-PAC的体积；
（2）在PD上是否存在一点F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出

PF

FD

的值；若不存在，试说明理由；

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在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

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一、选择题

1．A      2．C      3．A      4．C      5．D      6．C    7．B     8．C      9．A      10.A

11．D    12．D

二、填空题

13．  10       14．         15．     4      16．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）的内角和，由得．

       应用正弦定理，知

       ，

       ．

       因为，

       所以，

       （Ⅱ）因为

                        ，

       所以，当，即时，取得最大值．

18．解：（Ⅰ）总体平均数为

．

（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．

事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．

所以所求的概率为

．      

19．解：(Ⅰ)  由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且.             

∴，

即四棱锥的体积为.            

(Ⅱ) 连结、，

∵是正方形，

∴是的中点，且是的中点

∴                  

∴                   

(Ⅲ)不论点在何位置，都有.                        

证明如下：∵是正方形，∴.      

∵底面，且平面，∴.    

又∵，∴平面.                      

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.                        

20．解：（Ⅰ） ， ，

          ，又，，

          数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．

设…，     ①

则…，②

由①②得

       …，

．又…．

数列的前项和 ．

21．解：（Ⅰ）．

因为是函数的极值点，所以，即，因此．

经验证，当时，是函数的极值点．

（Ⅱ）由题设，．

当在区间上的最大值为时，

，

即．

故得．

反之，当时，对任意，

，

而，故在区间上的最大值为．

综上，的取值范围为．   

 22．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设，．

（1）当轴时，．

（2）当与轴不垂直时，

设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

当最大时，面积取最大值．