已知函数f（x）=x+

a

x

的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+

2

2

．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P₀（x₀，y₀），满足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）图象上以P₀为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当a=

3

2

时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

2a2

x2

(a＞0)，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以H(x)=f(x)+

2g(x)

，图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（3）是否存在实数m，使得函数p(x)=g(

4a2 x2+1

)+m-1的图象与q（x）=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．