已知数列是首项为的等比数列，且满足.

（1）   求常数的值和数列的通项公式；

（2）   若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；

（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

【解析】第一问中解：由得，，

又因为存在常数p使得数列为等比数列，

则即，所以p=1

故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.

此时也满足，则所求常数的值为1且

第二问中，解：由等比数列的性质得：

（i）当时，；

（ii） 当时，，

所以

第三问假设存在正整数n满足条件，则，

则（i）当时，

，

 

如图，已知点和单位圆上半部分上的动点B．

（1）若，求向量；

（2）求的最大值．

【解析】对于这样的向量的坐标和模最值的求解，利用建立直角坐标系的方法可知。

第一问中，依题意，，，

因为，所以，即，

解得，所以

第二问中，结合三角函数的性质得到最值。

（1）依题意，，（不含1个或2个端点也对）

， （写出1个即可）

因为，所以，即，

解得，所以.-

（2），

 当时，取得最大值，

 

已知函数，

(1)设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；

(2)设集合，，若,求的取值范围.

【解析】本试题主要考查了三角函数的性质的运用以及集合关系的运用。

第一问中利用

利用函数的单调性得到，参数的取值范围。

第二问中，由于解得参数m的取值范围。

(1)由已知

又因为常数，若在区间上是增函数故参数 

 (2)因为集合，，若

 

2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏，某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图（单位：分）．规定测评成绩在976分以上（包括976）为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作，这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路I和公路II顺利到达的概率都为；走公路III顺利到达的概率为，甲、乙、丙三辆车分别走公路I、II、III，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．
（I）如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率；
（Ⅲ）若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的数学期望．

已知函数

（1）若函数的图象经过P（3，4）点，求a的值；

（2）比较大小，并写出比较过程；

（3）若，求a的值.

【解析】本试题主要考查了指数函数的性质的运用。第一问中，因为函数的图象经过P（3，4）点，所以，解得，因为，所以.

（2）问中，对底数a进行分类讨论，利用单调性求解得到。

（3）中，由知，.，指对数互化得到，，所以，解得所以， 或 .

解：⑴∵函数的图象经过∴，即.        … 2分

又，所以.             ………… 4分

⑵当时，;

当时，. ……………… 6分

因为，，

当时，在上为增函数，∵，∴.

即.当时，在上为减函数，

∵，∴.即.      …………………… 8分

⑶由知，.所以，（或）.

∴.∴，       … 10分

∴ 或 ，所以， 或 .