如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；

(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；

(3)如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为S

①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围．

(4)本小题为选做题

依据(3)中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．

如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

(1)求AB的长；

(2)设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；

(3)探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．