设是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：“若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根

（1）对于定义在上的函数，满足，求证：函数在上是减函数；

（2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若是定义在上的可导函数，满足，则是上的减函数。然后填空建立一个普遍化的命题：

设是定义在上的可导函数，，若　 +，

则　　　　 是上的减函数。

注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合。

（3）证明（2）中建立的普遍化命题。

(Ⅰ)判断函数f(x)=+是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意［m,n］D，都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；

(Ⅲ)设x₁是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f(x₃)-f(x₂)|＜2.

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

   （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.