5．某个命题与正整数n有关.如果当时命题成立.那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立.那么可推得 A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不——青夏教育精英家教网—

5．某个命题与正整数n有关.如果当时命题成立.那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立.那么可推得 A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立 [典型例题选讲] [例1]用数学归纳法证明下述等式问题: (Ⅰ). [证明] . 当时.左边.右边.∴左边=右边.时等式成立, . 假设时等式成立.即 . ∴当时.左边 =右边.即时等式成立. 根据.等式对都正确. [例2]用数学归纳法证明下述整除问题: (Ⅰ)求证:能被6 整除. [证明] . 当时.13+5×1=6能被6整除.命题正确, . 假设时命题正确.即能被6整除. ∴当时. . ∵两个连续的整数的乘积是偶数.能被6整除. 能被6整除.即当时命题也正确. 由知命题时都正确. 例3.比较2n与n2的大小剖析:比较两数大小的常用方法本题不适用.故考虑用归纳法推测大小关系.再用数学归纳法证明. 解:当n=1时.21＞12. 当n=2时.22=22.当n=3时.23＜32. 当n=4时.24=42.当n=5时.25＞52. 猜想:当n≥5时.2n＞n2. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=5时.25＞52成立. (2)假设n=k(k∈N *.k≥5)时2k＞k2. 那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+(1+1)k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=(k+1) 2. ∴当n=k+1时.2n＞n2. 由可知.对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立. 综上.得当n=1或n≥5时.2n＞n2,当n=2.4时.2n=n2,当n=3时.2n＜n2. 评述:用数学归纳法证不等式时.要恰当地凑出目标和凑出归纳假设.凑目标时可适当放缩. 例4.是否存在常数使 a.b.c 等式对一切正整数n成立?证明你的结论. 剖析:先取n=1.2.3探求a.b.c的值.然后用数学归纳法证明对一切n∈N*.a.b.c所确定的等式都成立. 解:分别用n=1.2.3代入解方程组下面用数学归纳法证明. (1)当n=1时.由上可知等式成立; (2)假设当n=k+1时.等式成立. 则当n=k+1时.左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+-+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+-+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+-+k(2k+1) =k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+-+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2. ∴当n=k+1时.等式成立. 由得等式对一切的n∈N*均成立. 评述:本题是探索性命题.它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题.并证明所得结论的正确性.这是非常重要的一种思维能力. [例3]设a0为常数.且an=3n-1-2an-1(n∈N*).证明:n≥1时.an=[3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2n·a0. 剖析:给出了递推公式.证通项公式.可用数学归纳法证. 证明:(1)当n=1时.［3+2］-2a0=1-2a0.而a1=30-2a0=1-2a0. ∴当n=1时.通项公式正确. (2)假设n=k(k∈N*)时正确.即ak=［3k+(-1)k-1·2k］+(-1)k·2k·a0. 那么ak+1=3k-2ak=3k-×3k+(-1)k·2k+(-1)k+1·2k+1a0 =·3k+(-1)k·2k+1+(-1)k+1·2k+1·a0 =［3k+1+(-1)k·2k+1］+(-1)k+1·2k+1·a0.∴当n=k+1时.通项公式正确. 由可知.对n∈N*.an=［3n+(-1)n-1·2n］+(-1)n·2n·a0. 评述:由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键. 例5. 设为常数.且证明对任意, 证法一:(i)当n=1时.由已知a1=1-2a0.等式成立, 等式成立.则那么也就是说.当n=k+1时.等式也成立. 根据.可知等式对任何n∈N.成立. 证法二:如果设用代入.可解出. 所以是公比为-2.首项为的等比数列. 即备用:平面内有n(n≥2)条直线.其中任何两条不平行.任何三条不过同一点.证明交点的个数为f(n)= . 证明:(1)当n=2时.两条直线的交点只有一个.又f(2)=×2×(2-1)=1. 因此.当n=2时.命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立.就是说.平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)等于k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的一条直线.记为l. .由上述归纳法的假设.除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1). 另外.因为已知任何两条直线不平行.所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点.所以上面的k个交点两两不相同.且与平面内其他的k·(k-1)个交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是k(k-1)+k=k［(k-1)+2］=(k+1)［(k+1)-1］. 这就是说.当n=k+1时.k+1条直线的交点个数为 f(k+1)=(k+1)［(k+1)-1］. 根据可知命题对任何大于1的正整数都成立． [小结] 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:明确首取值n0并验证真假.“假设n=k时命题正确并写出命题形式分析“n=k+1时命题是什么.并找出与“n=k 时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标.掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式.因式分解.添拆项.配方等可明确为:两个步骤.一个结论,递推基础不可少.归纳假设要用到.结论写明莫忘掉 [作业]教材闯关训练. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

某个命题与正整数n有关，如果当n=k（k∈N₊）时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得（　　）

A．当n=6时该命题不成立

B．当n=6时该命题成立

C．当n=8时该命题不成立

D．当n=8时该命题成立

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某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立．现已知当时该命题不成立，那么可推得（　　）